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0. 写在前面

超级简单的模拟退火算法实现ε٩(๑> ₃ <)۶з搭配最简单的线性规划模型进行讲解！但是如果需要的话可以直接修改编程非线性问题哦(´つヮ⊂︎)

1. 模型描述及处理1.1 线性规划模型\[max\,f(x)=10x_1+9x_2\]

\(s.t.\)

\[6x_1+5x_2\leq{60}\tag{1}\]\[10x_1+20x_2\leq{150}\tag{2}\]\[0\leq{x_1}\leq{8}\tag{3}\]\[0\leq{x_2}\leq{8}\tag{4}\]1.2 引入惩罚函数处理模型

对约束条件引入惩罚函数：

对约束条件(1)，惩罚函数为：\(p_1=max(0,6x_1+5x_2-60)^2\)

对约束条件(2)，惩罚函数为：\(p_2=max(0,10x_1+20x_2-150)^2\)

那么，该问题的惩罚函数可以表示为：

\[P(x)=p_1+p_2\]

由此，可将该问题的约束条件放入目标函数中，此时模型变为：

\[min\,g(x)=-(10x_1+9x_2)+P(x)\quad\forall{x_1,x_2}\in{[0,8]}\]2. 程序实现

# 模拟退火算法 程序：求解线性规划问题（整数规划）# Program: SimulatedAnnealing_v4.py# Purpose: Simulated annealing algorithm for function optimization# v4.0: 整数规划：满足决策变量的取值为整数（初值和新解都是随机生成的整数）# Copyright 2021 YouCans, XUPT# Crated：2021-05-01# = 关注 Youcans，分享原创系列 https://blog.csdn.net/youcans =#  -*- coding: utf-8 -*-import math                         # 导入模块import random                       # 导入模块import pandas as pd                 # 导入模块 YouCans, XUPTimport numpy as np                  # 导入模块 numpy，并简写成 npimport matplotlib.pyplot as pltfrom datetime import datetime # 子程序：定义优化问题的目标函数def cal_Energy(X, nVar, mk): # m(k)：惩罚因子，随迭代次数 k 逐渐增大    p1 = (max(0, 6*X[0]+5*X[1]-60))**2    p2 = (max(0, 10*X[0]+20*X[1]-150))**2    fx = -(10*X[0]+9*X[1])    return fx+mk*(p1+p2) # 子程序：模拟退火算法的参数设置def ParameterSetting():    cName = "funcOpt"           # 定义问题名称 YouCans, XUPT    nVar = 2                    # 给定自变量数量，y=f(x1,..xn)    xMin = [0, 0]               # 给定搜索空间的下限，x1_min,..xn_min    xMax = [8, 8]               # 给定搜索空间的上限，x1_max,..xn_max    tInitial = 100.0            # 设定初始退火温度(initial temperature)    tFinal  = 1                 # 设定终止退火温度(stop temperature)    alfa    = 0.98              # 设定降温参数，T(k)=alfa*T(k-1)    meanMarkov = 100            # Markov链长度，也即内循环运行次数    scale   = 0.5               # 定义搜索步长，可以设为固定值或逐渐缩小    return cName, nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale # 模拟退火算法def OptimizationSSA(nVar,xMin,xMax,tInitial,tFinal,alfa,meanMarkov,scale):    # ====== 初始化随机数发生器 ======    randseed = random.randint(1, 100)    random.seed(randseed)  # 随机数发生器设置种子，也可以设为指定整数    # ====== 随机产生优化问题的初始解 ======    xInitial = np.zeros((nVar))   # 初始化，创建数组    for v in range(nVar):        # xInitial[v] = random.uniform(xMin[v], xMax[v]) # 产生 [xMin, xMax] 范围的随机实数        xInitial[v] = random.randint(xMin[v], xMax[v]) # 产生 [xMin, xMax] 范围的随机整数    # 调用子函数 cal_Energy 计算当前解的目标函数值    fxInitial = cal_Energy(xInitial, nVar, 1) # m(k)：惩罚因子，初值为 1    # ====== 模拟退火算法初始化 ======    xNew = np.zeros((nVar))         # 初始化，创建数组    xNow = np.zeros((nVar))         # 初始化，创建数组    xBest = np.zeros((nVar))        # 初始化，创建数组    xNow[:]  = xInitial[:]          # 初始化当前解，将初始解置为当前解    xBest[:] = xInitial[:]          # 初始化最优解，将当前解置为最优解    fxNow  = fxInitial              # 将初始解的目标函数置为当前值    fxBest = fxInitial              # 将当前解的目标函数置为最优值    print("x_Initial:{:.6f},{:.6f},\tf(x_Initial):{:.6f}".format(xInitial[0], xInitial[1], fxInitial))    recordIter = []                 # 初始化，外循环次数    recordFxNow = []                # 初始化，当前解的目标函数值    recordFxBest = []               # 初始化，最佳解的目标函数值    recordPBad = []                 # 初始化，劣质解的接受概率    kIter = 0                       # 外循环迭代次数，温度状态数    totalMar = 0                    # 总计 Markov 链长度    totalImprove = 0                # fxBest 改善次数    nMarkov = meanMarkov            # 固定长度 Markov链    # ====== 开始模拟退火优化 ======    # 外循环，直到当前温度达到终止温度时结束    tNow = tInitial                 # 初始化当前温度(current temperature)    while tNow >= tFinal:           # 外循环，直到当前温度达到终止温度时结束        # 在当前温度下，进行充分次数(nMarkov)的状态转移以达到热平衡        kBetter = 0                 # 获得优质解的次数        kBadAccept = 0              # 接受劣质解的次数        kBadRefuse = 0              # 拒绝劣质解的次数        # ---内循环，循环次数为Markov链长度        for k in range(nMarkov):    # 内循环，循环次数为Markov链长度            totalMar += 1           # 总 Markov链长度计数器            # ---产生新解            # 产生新解：通过在当前解附近随机扰动而产生新解，新解必须在 [min,max] 范围内            # 方案 1：只对 n元变量中的一个进行扰动，其它 n-1个变量保持不变            xNew[:] = xNow[:]            v = random.randint(0, nVar-1)   # 产生 [0,nVar-1]之间的随机数            xNew[v] = round(xNow[v] + scale * (xMax[v]-xMin[v]) * random.normalvariate(0, 1))            # 满足决策变量为整数，采用最简单的方案：产生的新解按照四舍五入取整            xNew[v] = max(min(xNew[v], xMax[v]), xMin[v])  # 保证新解在 [min,max] 范围内            # ---计算目标函数和能量差            # 调用子函数 cal_Energy 计算新解的目标函数值            fxNew = cal_Energy(xNew, nVar, kIter)            deltaE = fxNew - fxNow            # ---按 Metropolis 准则接受新解            # 接受判别：按照 Metropolis 准则决定是否接受新解            if fxNew < fxNow:  # 更优解：如果新解的目标函数好于当前解，则接受新解                accept = True                kBetter += 1            else:  # 容忍解：如果新解的目标函数比当前解差，则以一定概率接受新解                pAccept = math.exp(-deltaE / tNow)  # 计算容忍解的状态迁移概率                if pAccept > random.random():                    accept = True  # 接受劣质解                    kBadAccept += 1                else:                    accept = False  # 拒绝劣质解                    kBadRefuse += 1            # 保存新解            if accept == True:  # 如果接受新解，则将新解保存为当前解                xNow[:] = xNew[:]                fxNow = fxNew                if fxNew < fxBest:  # 如果新解的目标函数好于最优解，则将新解保存为最优解                    fxBest = fxNew                    xBest[:] = xNew[:]                    totalImprove += 1                    scale = scale*0.99  # 可变搜索步长，逐步减小搜索范围，提高搜索精度        # ---内循环结束后的数据整理        # 完成当前温度的搜索，保存数据和输出        pBadAccept = kBadAccept / (kBadAccept + kBadRefuse)  # 劣质解的接受概率        recordIter.append(kIter)  # 当前外循环次数        recordFxNow.append(round(fxNow, 4))  # 当前解的目标函数值        recordFxBest.append(round(fxBest, 4))  # 最佳解的目标函数值        recordPBad.append(round(pBadAccept, 4))  # 最佳解的目标函数值        if kIter%10 == 0:                           # 模运算，商的余数            print("i:{},t(i):{:.2f}, badAccept:{:.6f}, f(x)_best:{:.6f}".\                format(kIter, tNow, pBadAccept, fxBest))        # 缓慢降温至新的温度，降温曲线：T(k)=alfa*T(k-1)        tNow = tNow * alfa        kIter = kIter + 1        fxBest = cal_Energy(xBest, nVar, kIter)  # 由于迭代后惩罚因子增大，需随之重构增广目标函数        # ====== 结束模拟退火过程 ======    print("improve:{:d}".format(totalImprove))    return kIter,xBest,fxBest,fxNow,recordIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad# 结果校验与输出def ResultOutput(cName,nVar,xBest,fxBest,kIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad,recordIter):    # ====== 优化结果校验与输出 ======    fxCheck = cal_Energy(xBest, nVar, kIter)    if abs(fxBest - fxCheck)>1e-3:   # 检验目标函数        print("Error 2: Wrong total millage!")        return    else:        print("\nOptimization by simulated annealing algorithm:")        for i in range(nVar):            print("\tx[{}] = {:.1f}".format(i,xBest[i]))        print("\n\tf(x) = {:.1f}".format(cal_Energy(xBest,nVar,0)))    return# 主程序def main(): # YouCans, XUPT    # 参数设置，优化问题参数定义，模拟退火算法参数设置    [cName, nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale] = ParameterSetting()    # print([nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale])     # 模拟退火算法        [kIter,xBest,fxBest,fxNow,recordIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad] = OptimizationSSA(nVar,xMin,xMax,tInitial,tFinal,alfa,meanMarkov,scale)    # print(kIter, fxNow, fxBest, pBadAccept)     # 结果校验与输出    ResultOutput(cName, nVar,xBest,fxBest,kIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad,recordIter) if __name__ == "__main__":    main()

输出结果：

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